因此，无源性不仅是系统的物理属性，也是一种增益约束条件，为稳定性与性能分析提供了结构化的数学工具。
四、耗散系统 🤺#为了将输入输出的增益性和状态空间的 Lyapunov 稳定性统一，提出了耗散系统的框架。
系统 $ \dot{x} = f(x, u), \ y = h(x, u) $ 被称为关于供能率 $ s(u, y) $ 的耗散系统，若存在函数 $ S(x) \geq 0 $，称为存储函数，使得对任意时间区间 $[t_0, t_1]$：
$$
S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \le \int_{t_0}^{t_1} s(u(t), y(t)) {\rm {d}}t.
$$
这一不等式意味着系统“吸收”的供能 $ s(u, y) $ 不会转化为比 $ S $ 所表示的内部能量更多的输出，换言之，系统具有某种“能量耗散”特性。
根据所选供能率 $ s(u,y) $ 的不同，可以刻画出不同的系统属性，如下分析。
🌐 4-1 供能率的选择与系统性能#耗散系统理论的核心，是通过定义一个输入输出对 $ (u, y) $ 上的供能率函数 $ s(u, y) $，来描述系统的能量如何从输入传递到输出，以及是否会在系统内部以某种形式“被”存储或“耗散”。这一函数并非任意，而是根据我们对系统特性的不同关注点选出。典型的供能率如下：
🌍 1. $ s(u, y) = u^\top y $#此时，系统是无源的（Passive）。这是最自然的选择，反映系统从外界吸收的瞬时功率。此时，耗散不等式变为：
$$
S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \leq \int_{t_0}^{t_1} u^\top(t) y(t) {\rm {d}}t,
$$
表示系统内部存储的能量增量不超过输入与输出之间的能量传递。其背后逻辑是：如果一个系统不会凭空生成能量，那它从输入吸收的功必须转化为内部能量或者输出能量。
在输入输出映射的形式下，该条件等价于：
$$
\int_0^T u^\top(t) G(u)(t) {\rm {d}}t \geq \beta,
$$
即映射 $ G $ 为无源系统。
🌍 2. $ s(u, y) = u^\top y - \varepsilon |y|^2 $#此时，系统是严格输出无源的（Strict Output Passive）。在实际物理系统中，能量不仅被储存，还可能由于摩擦、电阻等原因被耗散。此时系统对输出信号的能量具有“惩罚项”，形式化为：
$$
\int u^\top y , {\rm {d}}t \geq \varepsilon \int |y|^2 {\rm {d}}t + \beta.
$$
这说明系统输出越大，能量耗散越多。等价于：
$$
\int_0^T u^\top(t) y(t) {\rm {d}}t - \varepsilon \int_0^T |y(t)|^2 {\rm {d}}t \geq \beta.
$$
在无状态模型中，它等价于映射 $ G $ 满足：
$$
|G(u)|_{{\mathcal L}_2}^2 \leq \frac{1}{\varepsilon} \int u^\top G(u) , {\rm {d}}t.
$$
因此，该供能率刻画的是输出能量耗散对输入功率的约束，其物理意义在于系统能从输出“泄露能量”。
🌍 3. $ s(u, y) = \frac{1}{2} \gamma^2 |u|^2 - \frac{1}{2} |y|^2 $#此时，系统具有有限 $ {\mathcal L}_2 $-增益，不超过 $ \gamma $。该形式直接对应于系统从输入信号到输出信号的增益控制。若存在存储函数 $ S(x) $ 使得：
$$
S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \leq \int_{t_0}^{t_1} \left( \frac{1}{2} \gamma^2 |u(t)|^2 - |y(t)|^2 \right) {\rm {d}}t,
$$
则可推出：
$$
\|y\|_{{\mathcal L}_2}^2 \leq \gamma^2 \|u\|_{{\mathcal L}_2}^2 + 2 S(x_0),
$$这说明系统的输出能量不会超过输入能量的 $ \gamma^2 $ 倍，加上初始能量的一个常数项。若 $ S(x) = 0 $，这就成了标准的 $ {\mathcal L}_2 $-增益界定。🌍 4. $ s(u, y) = -|y|^2 $#此时，系统输出能量呈现衰减趋势。这是一个强约束：系统的能量不但不能增加，甚至其输出总能量必须“亏损”。从不等式：
$$
S(x(t_1)) - S(x(t_0)) \leq - \int_{t_0}^{t_1} |y(t)|^2 {\rm {d}}t,
$$
可知只要输出有能量，存储函数必然下降。这是某些无源耗散系统（如阻尼结构）的典型模型，表明系统必须将输出转化为内部的损耗耗散，直至最终达到稳定。
🌍 5. $ s(u, y) = |y|^2 - \gamma^2 |u|^2 $#此时，系统放大能力有限，适用于构造 $ H_\infty $ 控制目标。这是一种对偶形式，更倾向于用于性能评估。若系统关于该 $ s(u, y) $ 是耗散的，则必然满足：
$$
\int |y|^2 {\rm {d}}t \leq \gamma^2 \int |u|^2 {\rm {d}}t + S(x_0),
$$
进而推出增益约束：
$$
\|y\|_{{\mathcal L}_2} \leq \gamma \|u\|_{{\mathcal L}_2}.
$$它是最直接的 $ H_\infty $ 范数定义形式，用作控制设计中的目标函数。该供能率的优势在于它对输出信号进行直接约束，适用于性能评估（如抗扰动、最坏场景最小化等场景）。🌐 4-2 available storage#定义：
$$
S_a(x) := \sup_{u \in {\mathcal L}_2} \left\{ - \int_0^\infty s(u(t), y(t)) {\rm {d}}t \right\}, \quad x(0) = x.
$$该函数描述从当前状态 $ x $ 出发，系统在所有可行输入作用下，**所能向外界“释放”的最大能量**。其物理含义与热力学中的“可用能”相同，表明状态 $ x $ 所蕴含的“控制势能”极限。从控制意义看：
若 $ S_a(x) = 0 $，说明此状态下系统无法向外界输出能量，是耗尽状态；若 $ S_a(x) > 0 $，说明存在输入使系统输出净能量，状态具有能量转换能力。数学上，available storage 还有如下性质：
它是所有存储函数的下界，即：若 $ S(x) $ 是任意使系统耗散的函数，则：$$
S_a(x) \leq S(x), \quad \forall x.
$$
它自身就是一个存储函数；在 passivity 条件下，$ s(u, y) = u^\top y $，可得：$$
\int_0^T u^\top y , {\rm {d}}t \geq -S_a(x(0)).
$$
这为系统耗散性提供了最小能量约束，有助于进行能量一致性判断与系统设计下界估计。
五、$ H_\infty $ 控制问题 🔍#考虑非线性系统：
$$
\dot{x} = f(x) + g(x) u + k(x) d,
$$
其中：$x \in \mathbb{R}^n$：系统状态；$u \in \mathbb{R}^{n_u}$：控制输入；$d \in \mathbb{R}^{n_d}$：外部扰动；$f(x), g(x), k(x)$ 为局部 Lipschitz 连续函数。
系统的性能输出定义为：
$$
z(x, u) = Q(x) + u^\top R u,
$$
其中 $Q(x) \geq 0$ 是正定函数，$R \succ 0$ 是控制输入的权重矩阵。性能目标为：对于任意扰动 $d \in \mathcal{L}_2$，闭环系统满足：
$$
\int_0^\infty \left( Q(x(t)) + u^\top(t) R u(t) \right) {\rm {d}}t \leq \gamma^2 |d|^2_{\mathcal{L}_2}.
$$
这是一种标准的非线性 $H_\infty$ 控制形式，目标是以最小控制代价抑制最强扰动。
💡 5-1. 耗散系统 $H_\infty$ 性能指标#构造供能率函数：
$$
s(d, x, u) := Q(x) + u^\top R u - \gamma^2 |d|^2,
$$
若存在光滑非负函数 $V(x)$ 使得系统沿解轨迹满足：
$$
\dot{V}(x) \leq - s(d, x, u) ,
$$
则沿系统轨迹有
$$
\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}V\left( {x\left( t \right)} \right) \le - Q\left( x \right) - {u^\top}Ru + {\gamma ^2}{\left| d \right|^2}
$$
则通过积分可得：
$$
V(x(0)) \geq \int_0^\infty \left( Q(x(t)) + u^\top(t) R u(t) \right) {\rm {d}}t - \gamma^2 |d|^2_{\mathcal{L}_2},
$$
即系统满足期望的 $H_\infty$ 性能指标。
💡 5-2. HJI 推导#考虑沿系统轨迹对 $V(x)$ 求导：
$$
\dot{V}(x) = \nabla V(x)^\top \left( f(x) + g(x) u + k(x) d \right).
$$
代入上述不等式，有：
$$
\nabla V^\top f(x) + \nabla V^\top g(x) u + \nabla V^\top k(x) d \leq - Q(x) - u^\top R u + \gamma^2 |d|^2.
$$
整理后构造 Hamiltonian：
$$
H(x, \nabla V, u, d) := \nabla V^\top f(x) + Q(x) + \nabla V^\top g(x) u + u^\top R u + \nabla V^\top k(x) d - \gamma^2 |d|^2.
$$
要求：
$$
\inf_{u} \sup_{d} H(x, \nabla V, u, d) \leq 0,
$$
即系统在最坏扰动下依然满足性能限制。
💡 5-3. 扰动与控制的最优化#(1) 对扰动 $d$ 的极大化（扰动 $d$ 试图最大化供能）：求：
$$
\sup_d \left\{ \nabla V^\top k(x) d - \gamma^2 \|d\|^2 \right\}
$$最优扰动为：
$$
d^* = \frac{1}{2\gamma^2} k(x)^\top \nabla V(x)
$$
对应最大值为：
$$
\frac{1}{4\gamma^2} | \nabla V^\top k(x) |^2.
$$
(2) 对控制输入 $u$ 的极小化（控制 $u$ 试图最小化供能）：求：
$$
\inf _u \left\{ \nabla V^\top g(x) u + u^\top R u \right\}
$$最优控制为：
$$
u^* = - \frac{1}{2} R^{-1} g(x)^\top \nabla V(x)
$$
对应最小值为：
$$
-\frac{1}{4} \nabla V^\top g(x) R^{-1} g(x)^\top \nabla V.
$$
最优控制为：$$
u^* = - \frac{1}{2} R^{-1} g(x)^\top \nabla V(x)
$$
对应最小值为：
$$
-\frac{1}{4} \nabla V^\top g(x) R^{-1} g(x)^\top \nabla V.
$$
💡 5-4. HJI 不等式最终形式#将控制项与扰动项代入 Hamiltonian，得到最终形式的 HJI 不等式：
$$
\nabla V^\top f(x) + Q(x) - \frac{1}{4} \nabla V^\top g(x) R^{-1} g(x)^\top \nabla V + \frac{1}{4\gamma^2} |\nabla V^\top k(x)|^2 \leq 0.
$$
若存在正定光滑函数 $V(x)$ 满足上述不等式，则控制器：
$$
u(x) = -\frac{1}{2} R^{-1} g(x)^\top \nabla V(x)
$$
确保系统满足性能约束：
$$
\int_0^\infty \left( Q(x(t)) + u^\top(t) R u(t) \right) dt \leq \gamma^2 |d|^2_{\mathcal{L}_2}.
$$
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